Filip Fiala

Přirozené číslo (N-naturals): vyjadřuje počet nějakých objektů nebo jejich pořadí. Nejmenší přirozené číslo je 1. Přirozená čísla zpravidla zapisujeme pomoci deseti arabských číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 v desítkové soustavě.

Číslice: jsou znaky, které slouží k zápisu čísel.

Číselná soustava: je způsob, jakým se zapisují čísla pomocí znaků (nazývaných cifry).. Podle způsobu určení hodnoty čísla z daného zápisu rozlišujeme dva hlavní druhy číselných soustav: poziční číselné soustavy a nepoziční číselné soustavy.

• jedničková (unární, r=1) – přestože si to ani neuvědomujeme, tuto soustavu běžně používáme při počítání na prstech nebo při psaní čárek označujících počet piv na účet v restauračních zařízeních. Může být řazena mezi speciální poziční soustavy nebo i zcela mimo dělení na poziční/nepoziční soustavy.
• dvojková (binární, r=2) – přímá implementace v digitálních elektronických obvodech (použitím logických členů), čili interně ji používají všechny moderní počítače
• osmičková (oktální, oktalová, r=8)
• desítková (decimální, dekadická, r=10) – nejpoužívanější v běžném životě
• dvanáctková (r=12) – dnes málo používaná, ale dodnes z ní zbyly názvy prvních dvou řádů – tucet a veletucet
• šestnáctková (hexadecimální, r=16) – používá se v oblasti informatiky, pro číslice 10 až 15 se používají písmena A až F
• šedesátková (r=60) – používá se k měření času pro zlomky hodiny; číslice se obvykle zapisují desítkovou soustavou jako 00 až 59 a řády se oddělují dvojtečkou; staré názvy prvních dvou řádů jsou kopa a velekopa.

Římské číslice jsou příkladem nepoziční číselné soustavy. Dnes se prakticky nepoužívají.

Početní operace v oboru N: 

sčítanec + sčítanec = součet

menšenec - menšitel = rozdíl

činitel · činitel = součin

dělenec : dělitel = podíl

Dělitelnost přirozených čísel (N): pokud dělení přirozených čísel a : b vyjde beze zbytku, říkáme, že číslo a je násobkem čísla b, číslo a je DĚLITELNÉ číslem b, číslo b je dělitelem čísla a (číslo b dělí číslo a)

Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 1.

Každé přirozené číslo je dělitelné samo sebou.

Množina všech dělitelů přirozeného čísla obsahuje konečný počet čísel.

Množina všech násobků přirozeného čísla je nekonečná.

Číslo 1 je dělitetelné zas jen číslem 1. Ostatní čísla mají alespoň dva dělitele.

Znaky dělitelnosti:

přirozené číslo je dělitelné:

• DVĚMA, má-li na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8.
• TŘEMI, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi.
• ČTYŘMI, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi.
• PĚTI, má-li na místě jednotek číslici 0 nebo 5.
• ŠESTI, je-li dělitelné dvěma a třemi.
• OSMI, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi.
• DEVÍTI, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti.
• DESETI, má-li na místě jednotek číslici 0.
• JEDENÁCTI, je-li součet číslic lichých řádů roven součtu číslic sudých řádů anebo se tyto součty liší o násobek jedenácti.

příklad: rodná čísla bez lomítka jsou vždy dělitelné jedenácti.

tedy, 8651214473 => 8+5+2+4+7=26 a 6+1+1+4+3=15, výsledky se sice nerovnají ale liší se o násobek jedenácti, v tomto případě o jedenáct. Potvrdilo se tedy, že toto číslo je dělitelné jedenácti.

Prvočíslo: je přirozené číslo, které má právě dva dělitele, číslo 1 a sebe sama. Prvočíslo nelze rozložit na součin menších přirozených čísel. Nejmenší prvočíslo je 2.

Složené číslo: je přirozené číslo, které má alespoň tři dělitele. Složené číslo lze rozložit na součin dvou nebo více přirozených čísel, než je číslo samo.

Rozklad složeného čísla na součin prvočísel:

360=2·180

180=2·90

90=2·45

45=5·9

9=3·3

==> 2 · 2 · 2 · 5 · 3 · 3

Společný dělitel: je číslo, kterým jsou čísla beze zbytku dělitelná.

Příklad: určit množinu společných dělitelů čísel 250 a 350

250	: 2		350	: 2
125	: 5		175	: 5
25	: 5		35	: 5
5	: 5		7	: 7
1			1

 

 

 

 

 

Množina dělitelů čísla D₂₅₀ = {1, 2, 5, 2·5, 5·5, 2·5·5, 5·5·5, 250}

Množina dělitelů čísla D₃₅₀ = {1, 2, 5, 7, 2·5, 2·7, 5·5, 5·7, 2·5·5, 2·5·7, 5·5·7, 350}

Množina společných dělitelů: D₂₅₀  ∩  D₃₅₀ =  {1, 2, 5, 10, 25, 50}

Společný násobek: je přirozené číslo, které je násobkem každého z těchto čísel.

Příklad:  jaké čísla jsou společným násobkem čísel 6 a 8?

násobky 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.........

násobky 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56........

společným násobkem jsou čísla 24, 48, ..... (nejmenší společný násobek je 24)

Nejmenší společný násobek: zapisujeme jej n(a, b)

n(360, 900) = 1800

Efektivní postup k určení nejmenšího společného násobku:

• daná čísla rozložíme na součin prvočísel
• vybereme všechny prvočísla, která jsou v rozkladech použita a jsou v nejvyšších mocninách.
• tyto vybraná čísla vynásobíme

Příklad:  určete nejmenší společný násobek čísel 338, 50, 32.

338 = 2·13·13 = 2·13²

50 = 2·5·5 = 2·5²

32 = 2·2·2·2·2 = 2⁵

n(338, 50, 32) = 2⁵·5²·13² = 135200

Nula: určuje počet prvků prázdné množiny. Nulou určujeme skutečnost, že žádné objekty, jejichž počet určujeme, neexistují. Nula není prvkem množiny přirozených čísel.

Množinu, která obsahuje přirozená čísla a nulu, označujeme N₀.

V oboru N₀ nelze dělit nulou.

Celé číslo (Z): je přirozené číslo, číslo k přirozenému čislu opačné nebo nula.

V oboru Z nelze dělit nulou.

Racionální číslo (Q): je každé číslo, které lze zapsat jako podíl celého a přirozeného čísla. Např.: 5; -1842; ⁵/₆; 0,1; 2,34; 0,6̅;

Čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem nejsou racionální. Nazývají se iracionální.

Zlomky:

Pravý zlomek: je číslo s absolutní hodnotou < 0.

Nepravý zlomek: je číslo s absolutní hodnotou > 0.

Smíšené číslo: je číslo vyjádřené součtem přirozeného čísla a pravého zlomku, ve kterém je znaménko plus vynecháno. Např.: 3+¹/₅ = 3¹/_5.

Záporný zlomek: může mít znaménko minus v čitateli nebo ve jmenovateli,  nejčastěji se však zapisuje před zlomkovou čáru. ^-3/₅ = ³/_-5 = -³/_5.

Krácením zlomku na základní tvar lze provést jedním krácením největším společným dělitelem čitatele i jmenovatele.

¹⁸⁰/₃₁₅

D(180, 315) = 45

^180:45/_315:45 = ⁴/₇

Porovnávání kladných zlomků:

Zlomky jsou si rovny tehdy, když součin čitatele prvního se jmenovatelem druhého, je roven součinu čitatele druhého a jmenovatele prvního.

^a/_b = ^c/_d  (a · d = b · c)

Ze dvou zlomků je první menší (větší) tehdy, když součin čitatele prvního a jmenovatele druhého je menší ( větší) než součin čitatele druhého a jmenovatele prvního.

^a/_b < ^c/_d  (a · d < b · c)

^a/_b > ^c/_d  (a · d > b · c)

Početní operace se zlomky:

• Sčítání/ odčítání

se společným jmenovatelem:

^a/_c + ^b/_c = ^{a + b}/_c

^a/_c - ^b/_c = ^{a - b}/_c

s různým jmenovatelem:

metoda 1

^a/_b + ^c/_d = ^a·d+b·c /_b·d 

metoda 2

pomoci určení nejmenšího společného násobku jmenovatelů

^a/_b + ^c/_d = ^{x + y}/_{n(b, d)} 

^a/_b - ^c/_d = ^{x - y}/_{n(b, d)} 

x = n(b, d) : b · a

y = n(b, d) : d · c

• Násobení

^a/_b · ^c/_d = ^a·c/_b·d

• Dělení

^a/_b : ^c/_d = ^a/_b · ^d/_c = ^a·d/_b·c

Desetinná čísla:

DESETINA = 0,1 = ¹/₁₀ = 10^-1

SETINA = 0,01 = ¹/₁₀₀ = 10^-2

TISÍCINA = 0,001 = ¹/₁₀₀₀ = 10^-3

^...

^...

Periodické číslo:

číslo v jehož zápisu se od určitého řádu neustále opakuje číslice nebo skupina číslic.

0,6̅ = 0,66666....

0,82̅7̅ = 0,8272727...

Zaokrouhlování:

čísla 0, 1, 2, 3, 4 na místě nižšího řádu zaokrouhlujeme dolů

čísla 5, 6, 7, 8, 9 na místě nižšího řádu zaokrouhlujeme nahoru

8418 po zaokrouhlení na stovky = 8400

13514 po zaokrouhlení na tisíce = 14000

Reálná čísla (R):

Reálné číslo je každé racionalní nebo iracionální číslo.

Iracionální číslo nelze zapsat zlomkem v základním tvaru.

Např.: √2, -√3, ³√2

Množinu iracionálních čísel označujeme I

Iracionální číslo má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj.

π = 3,141592653589793238462642383...

√2 = 1,414213562373095048801688...

Interval: je množina bodů, která je ohraničena dvěma krajními body.

- uzavřený x ∈ <a; b>  (a < = x < = b)

- otevřený x ∈ (a; b)  (a < x < b)

- uzavřený x ∈ (a; b>  (a < x < = b)

Operace s intervaly:

• sjednocení: jsou všechna reálná čísla, která jsou prvkem alespoň jednoho z intervalu.

Př.: (-∞; 3> ∪ <-3; 4> = (-∞; 4>

• průnik: jsou všechna reálná čísla, která jsou prvkem všech intervalů současně.

Př.: (-∞; 3> ∩ <-3; 4> = <-3; 3>

Př.: (-∞; 3> ∩ <-3; 3> = {-3}

• rozdíl: jsou všechna reálná čísla, která jsou prvkem prvního intervalu a zároveň nejsou prvkem druhého intervalu.

Př.: (-∞; 3> \ <-3; 4> = (-∞; -3)

Číselné obory:

číslo	obor N (přirozená)	obor Z (celá)	obor Q (racionální)	obor R (reálná)
3	ano	ano	ano	ano
-3	ne	ano	ano	ano
3/4	ne	ne	ano	ano
-√2	ne	ne	ne	ano
√-1	ne	ne	ne	ne

Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy:

a² = a · a 

a³  = a · a · a

a^-n = ¹/_aⁿ

a⁰ = 1

a^r · a^s = a^r+s

a^r : a^s  = a^r-s

(a^r)^s = a^r·s

a³ - 2·a³ = -a³

a · b² + c · b² = (a + c) · b²

a² + b² = (a + b)² - 2ab

(a · b)^r = a^r · b^r

(^a/_b)^r = a^r : b^r

a² - b² = (a - b) · (a + b)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 (a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² + b³

a³ + b³ = (a + b) · (a² - ab + b²)

ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b

ⁿ√(a:b) = ⁿ√a : ⁿ√b

^m√ⁿ√a = ^m·n√a

(ⁿ√a)^s = ⁿ√a^s

Př.: 

(x²  - 9) : ((2xy + 6y) · (x² - 6x + 9)) = (x² - 3²) : (2y · (x + 3) · (x² - 2·3x + 3²)) = ((x - 3) · (x + 3)) : (2y · (x + 3) · (x - 3)²) = ((x - 3) · (x + 3)) : (2y · (x + 3) · (x - 3) · (x - 3)) = 1 :  (2xy - 6y)

Jednočlen: je výraz, který obsahuje číslo, proměnnou nebo jejich součin či mocninu.

-7; 3,58; √6; a; x³; -3xy; -abc; 3,58ax³;

Koeficient: je číslo v jednočlenu.

7;  3,58; 6; 1 (a = 1 · a); 1; -3; -1; 3,58; 

Mnohočlen (polynom): je výraz, který obsahuje součet (rozdíl) jednočlenů.

Např.: -8x³ + 10x² - 5x - 3

Početní operace s jednočleny a mnohočleny: 

- mnohočleny sčítáme/odčítáme tak, že sečtee/odečteme koeficienty členů, ve kterých jsou stejné proměnné ve stejných mocninách.

- při násobení jednočlenu jednočlenem vynásobíme koeficienty jednočlenů a mocniny se stejným základem.

- mnohočlen násobíme jednočlenem (mnohočlenem) tak, že každý člen mnohočlenu násobíme jednočlenem (každým členem mnohočlenu) a součiny sečteme.

- při dělení jednočlenu jednočlenem vydělíme koeficienty jednočlenů, mocniny se stejným základem a podíly vynásobíme. V oboru proměnných dělitele nesmějí být čísla, po jejichž dosazení za proměnné by byl dělitel roven nule. K výpočtu připisujeme podmínku.

Př.:

(10x⁴y²) : (2x³y²) = (10 : 2) · (x⁴ : x³) · (y² : y²) = 5x    [x ≠ 0; y ≠ 0]

- při dělení mmnohočlenu jednočlenem každý člen mnohočlenu dělíme jednočlenem a tyto podíly sčítáme. V oboru proměnných dělitele nesmějí být čísla, po jejichž dosazení za proměnné by byl dělitel roven nule.

Př.: 

(10x³ - 4x² + 7x) : (-2x) = 10x³ : (-2x) + (-4x²) : (-2x) + 7x : (-2x) = -5x² + 2x - 3,5   [x ≠ 0]

- dělení mnohočlenu mnohočlenem provádíme analogicky jako písemné dělení přirozených čísel. V oboru proměnných dělitele nesmějí být čísla, po jejichž dosazení za proměnné by byl dělitel roven nule.

Př.:

Početní operace s lomenými výrazy:

• sčítání (odčítání) provádíme u lomených výrazů se stejnými jmenovateli stejně jako u zlomků. U lomených výrazů s různými jmenovateli provádíme tak, že určíme společný jmenovatel, který určíme zpravidla podle nejmenšího společného násobku. Společný jmenovatel dělíme každým jmenovatelem výrazů a výsledkem násobíme jejich čitatele. Součet (rozdíl) takto upravených čitatelů tvoří čitatel vypočteného výrazu se společným jmenovatelem který případně dále upravujeme na výsledný výraz.
• nejmenší společný násobek dvou výrazů určíme tak, že výrazy (mnohočleny) rozložíme na součin mnohočlenů co nejnižšího stupně. Dále každý činitel, který se vyskytuje alespoň v jednom rozkladu, zahrneme do nejmenšího společného násobku, a to s nejvyšším exponentem, ve kterém se vyskytuje.

Př.:

^2x/_(x²-4) + ^3x/_(x²-4x+4) = ^2x/_(x²-2²) + ^3x/_{(x²-2·2x+2²)} = ^2x/_{((x-2)·(x+2))} + ^3x/_{((x-2)·(x-2))} = ^{(2x·(x-2)+3x·(x+2))}/_{((x-2)·(x-2)·(x+2))} = ....................... = ^(x·(5x+2))/_{((x-2)²·(x+2))}

• násobení lomených výrazů počítáme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.
• dělení lomených výrazů počítáme tak, že první výraz násobíme převráceným druhým, případně převráceným třetím a dalším výrazem.

Př.:

^A/_B : ^C/_D : ^E/_F : ^G/_H = ^A/_B · ^D/_C · ^F/_E · ^H/_G =............_.

Lineární rovnice:

vynecháno

Lineární rovnice s dvěma neznámými:

vynecháno

Metody řešení soustavy rovnic:

vynecháno

Kvadratické rovnice:

základní tvar: ax² + bx + c = 0

• úplná: ax² + bx + c = 0

​​​​​​​

• neúplná

- ryze kvadratická: ax² + c = 0

- bez absolutního členu: ax² + bx = 0

​​​​​​​

Ryze kvadratická má buď dvě řešení v oboru reálných čísel nebo nemá řešení.

Př.:

3x² - 12 = 0

x_1,2 = ±2

3x² + 12 = 0

NEMÁ ŘEŠENÍ

Kvadratická rovnice bez absolutního členu má vždy dvě řešení.

Př.:

4x² - 14x = 0

řeší se rozkladem na součin

2x (2x - 7) = 0

2x₁ = 0 nebo 2x₂ - 7 = 0 

x₁ = 0

x₂ = 3,5

Řešení kvadratických rovnic využitím vzorce s diskriminantem D:

D = b² - 4ac

Př.:

x² + 7x + 12 = 0

D = 7² - 4 · 1 · 12 = 1

jestliže D > 0 tak má rovnice dvě řešení

jestliže D = 0 tak má rovnice jedno řešení

jestliže D < 0 tak rovnice nemá řešení

x₁ = ^{- b + √D}/_2a

x₂ = ^{- b - √D}/_2a

------------------pokračování později, průběžně budu doplňovat------------------